一般人也能看懂的纳什均衡案例

奥斯卡获奖电影《美丽心灵》主角原型、诺贝尔奖得主、美国数学家约翰-纳什日前与妻子在美国新泽西州乘搭的士时遇上车祸,两人均不幸遇难。纳什在与命运的博弈中找到均衡,纪念大师最好的方式就是尝试了解博弈论。纳什均衡的应用是多领域的。

而事实上,从日常生活中可以找到很多纳什均衡的经典案例,让我们普通人也可以尝试了解一下这一世界级的发现和理论!下面跟随者e-works的视野往下看!

首先我们先简单看一下纳什均衡的经济学含义:所谓纳什均衡,指的是参与人的这样一种策略组合,在该策略组合上,任何参与人单独改变策略都不会得到好处。换句话说,如果在一个策略组合上,当所有其他人都不改变策略时,没有人会改变自己的策略,则该策略组合就是一个纳什均衡。大家可以现有一个简单的印象,结合下面的案例再回来看这个定义。

案例一、智猪博弈

猪圈里有两头猪,一头大猪,一头小猪。猪圈的一边有个踏板,每踩一下踏板,在远离踏板的猪圈的另一边的投食口就会落下少量的食物。如果有一只猪去踩踏板,另一只猪就有机会抢先吃到另一边落下的食物。当小猪踩动踏板时,大猪会在小猪跑到食槽之前刚好吃光所有的食物;若是大猪踩动了踏板,则还有机会在小猪吃完落下的食物之前跑到食槽,争吃到另一半残羹。

那么,两只猪各会采取什么策略?答案是:小猪将选择“搭便车”策略,也就是舒舒服服地等在食槽边;而大猪则为一点残羹不知疲倦地奔忙于踏板和食槽之间。

原因何在?因为,小猪踩踏板将一无所获,不踩踏板反而能吃上食物。对小猪而言,无论大猪是否踩动踏板,不踩踏板总是好的选择。反观大猪,已明知小猪是不会去踩动踏板的,自己亲自去踩踏板总比不踩强吧,所以只好亲力亲为了。

案例二、囚徒困境

(1950年,数学家塔克任斯坦福大学客座教授,在给一些心理学家作讲演时,讲到两个囚犯的故事。)
假设有两个小偷A和B联合犯事、私入民宅被警察抓住。警方将两人分别置于不同的两个房间内进行审讯,对每一个犯罪嫌疑人,警方给出的政策是:如果一个犯罪嫌疑人坦白了罪行,交出了赃物,于是证据确凿,两人都被判有罪。

如果另一个犯罪嫌疑人也作了坦白,则两人各被判刑8年;如果另一个犯罪嫌人没有坦白而是抵赖,则以妨碍公务罪(因已有证据表明其有罪)再加刑2年,而坦白者有功被减刑8年,立即释放。如果两人都抵赖,则警方因证据不足不能判两人的偷窃罪,但可以私入民宅的罪名将两人各判入狱1年。

囚徒困境博弈
A╲B
坦白
抵赖
坦白
-8,-8
0,-10
抵赖
-10,0
-1,-1

关于案例,显然最好的策略是双方都抵赖,结果是大家都只被判1年。但是由于两人处于隔离的情况,首先应该是从心理学的角度来看,当事双方都会怀疑对方会出卖自己以求自保、其次才是亚当·斯密的理论,假设每个人都是“理性的经济人”,都会从利己的目的出发进行选择。

这两个人都会有这样一个盘算过程:假如他坦白,如果我抵赖,得坐10年监狱,如果我坦白最多才8年;假如他要是抵赖,如果我也抵赖,我就会被判一年,如果我坦白就可以被释放,而他会坐10年牢。综合以上几种情况考虑,不管他坦白与否,对我而言都是坦白了划算。两个人都会动这样的脑筋,最终,两个人都选择了坦白,结果都被判8年刑期。

基于经济学中Rational agent的前提假设,两个囚犯符合自己利益的选择是坦白招供,原本对双方都有利的策略不招供从而均被判处一年就不会出现。这样两人都选择坦白的策略以及因此被判8年的结局,纳什均衡”首先对亚当·斯密的“看不见的手”的原理提出挑战:按照斯密的理论,在市场经济中,每一个人都从利己的目的出发,而最终全社会达到利他的效果。但是我们可以从“纳什均衡”中引出“看不见的手”原理的一个悖论:从利己目的出发,结果损人不利己,既不利己也不利他。

案例三、普通范式博弈

GOO公司和SAM公司是某手机产品生态的两大重量级参与者,双方在产业链的不同位置上各司其职且关系暧昧,有时也往往因商业利益和产品影响力的争夺而各怀异心。二者的收益也随着博弈的变化而不断更替。

上图表格模拟了两家公司的博弈现状,双方各有两个可选策略“合作”与“背叛”,格中的四组数据表示四个博弈结局的分数(收益),每组数据的第一个数字表示GOO公司的收益,后一个数字表示SAM公司的收益。

博弈是同时进行的,一方参与者必须站在对方的角度上来思考我方的策略选择,以追求收益最大化。这在博弈论里称作Putting yourselves into other people’s shoes。

现在我们以GOO公司为第一人称视角来思考应对SAM公司的博弈策略。假如SAM公司选择合作,那么我方也选择合作带来的收益是3,而我方选择背叛带来的收益是5,基于理性的收益最大化考虑,我方应该选择背叛,这叫严格优势策略;假如SAM公司选择背叛,那么我方选择合作带来的收益是-3,而选择背叛带来的收益为-1,为使损失降到最低,我方应该选择背叛。最后,GOO公司的分析结果是,无论SAM公司选择合作还是背叛策略,我方都必须选择背叛策略才能获得最大化的收益。

同理,当SAM公司也以严格优势策略来应对GOO公司的策略选择时,我们重复上述分析过程,就能得出结论:无论GOO公司选择合作还是背叛策略,SAM公司都必须选择背叛策略才能获得最大化收益。

最后我们发现,本次博弈的双方都采取了背叛策略,各自的收益都为-1,这是一个比较糟糕的结局,尽管对任何一方来说都不是最糟糕的那种。这种局面就是著名的“囚徒困境”。

但是,博弈的次数往往不止一次,就像COO与SAM公司双方的商业往来也许会有很多机会。当二者经历了多次背叛策略的博弈之后,发现公式上还有一个(3,3)收益的双赢局面,这比(-1,-1)的收益结果显然要好很多,因此二者在之后的博弈过程中必然会尝试互建信任,从而驱使双方都选择合作策略。

这里有一个理想化假设,那就是假设双方都知道博弈次数是无限的话,也就是说双方的商业往来是无止尽的,那么二者的策略都将持续选择合作,最终的博弈收益将定格在(3,3),这就是一个纳什均衡。既然博弈次数是无限的,那么任何一方都没有理由选择背叛策略去冒险追求5点短暂收益,而招致对方在下一轮博弈中的报复(这种报复在博弈论里称作“以牙还牙”策略)。

还有另一种假设情况是,假使双方都知道博弈次数是有限的,也许下一次博弈就是最后一次,那么为了避免对方在最后一轮博弈中选择背叛策略而使我方遭受-3的收益损失,于是双方都重新采取了背叛的策略选择,最后的博弈结果又回到了(-1,-1),这就形成了第二个纳什均衡。

由此可见,随着次数(博弈性质)的变化,纳什均衡点也并非唯一,这在下一个例子中有着更明显的表现。

案例四、饿狮博弈

题设为A、B、C、D、E、F六只狮子(强弱从左到右依次排序)和一只绵羊。假设狮子A吃掉绵羊后就会打盹午睡,这时比A稍弱的狮子B就会趁机吃掉狮子A,接着B也会午睡,然后狮子C就会吃掉狮子B,以此类推。那么问题来了,狮子A敢不敢吃绵羊?

为简化说明,我们先给出此题的解法。该题须采用逆向分析法,也就是从最弱的狮子F开始分析,依次前推。假设狮子E睡着了,狮子F敢不敢吃掉狮子E?答案是肯定的,因为在狮子F的后面已没有其它狮子,所以狮子F可以放心地吃掉午睡中的狮子E。

继续前推,既然狮子E睡着会被狮子F吃掉,那么狮子E必然不敢吃在他前面睡着的狮子D。

再往前推,既然狮子E不敢吃掉狮子D,那么D则可以放心去吃午睡中的狮子C。依次前推,得出C不吃,B吃,A不吃。所以答案是狮子A不敢吃掉绵羊。

细心的人也许会发现,假如增加或减少狮子的总数,博弈的结果会完全不同。我们用下图来验证:

我们在狮子F的后面增加了一只狮子G,总数变成7只。用逆向分析法按照上题步骤再推一次,很容易得出结论:狮子G吃,狮子F不吃,E吃,D不吃,C吃,B不吃,A吃。这次的答案变成了狮子A敢吃掉绵羊。

对比两次博弈我们发现,狮子A敢不敢吃绵羊取决于狮子总数的奇偶性,总数为奇数时,A敢吃掉绵羊;总数为偶数时,A则不敢吃。因此,总数为奇数和总数为偶数的狮群博弈结果形成了两个稳定的纳什均衡点。

案例五、硬币正反

你正在图书馆枯坐,一位陌生美女主动过来和你搭讪,并要求和你一起玩个数学游戏。美女提议:“让我们各自亮出硬币的一面,或正或反。如果我们都是正面,那么我给你3元,如果我们都是反面,我给你1元,剩下的情况你给我2元就可以了。”那么该不该和这位姑娘玩这个游戏呢?这基本是废话,当然该。问题是,这个游戏公平吗?

每一种游戏依具其规则的不同会存在两种纳什均衡,一种是纯策略纳什均衡,也就是说玩家都能够采取固定的策略(比如一直出正面或者一直出反面),使得每人都赚得最多或亏得最少;或者是混合策略纳什均衡,而在这个游戏中,便应该采用混合策略纳什均衡。

你\美女
美女出正面
美女出反面
你出正面
+3,-3
-2,+2
你出反面
-2,+2
+1,-1

假设我们出正面的概率是x,反面的概率是1-x,美女出正面的概率是y,反面的概率是1-y。为了使利益最大化,应该在对手出正面或反面的时候我们的收益都相等,由此列出方程就是
3x + (-2)*(1-x)=(-2) * x + 1*( 1-x )解方程得x=3/8。

同样,美女的收益,列方程
-3y + 2( 1-y)= 2y+ (-1) * ( 1-y)
解得y也等于3/8,而美女每次的期望收益则是 2(1-y)- 3y = 1/8元。这告诉我们,在双方都采取最优策略的情况下,平均每次美女赢1/8元。

其实只要美女采取了(3/8,5/8)这个方案,不论你再采用什么方案,都是不能改变局面的。如果全部出正面,每次的期望收益是 (3+3+3-2-2-2-2-2)/8=-1/8元;如果全部出反面,每次的期望收益也是(-2-2-2+1+1+1+1+1)/8=-1/8元。而任何策略无非只是上面两种策略的线性组合,所以期望还是-1/8元。但是当你也采用最佳策略时,至少可以保证自己输得最少。否则,你肯定就会被美女采用的策略针对,从而赔掉更多。

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